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HARVARD UNIVERSITE.

LIBRARY

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

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^ MÉMOIRES

DE LA

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIEGE.

iVec lemere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XI.

DEPOTS :

E.OXUBE6, '■ PARIS,

ehez WiLLÀUS el Norgati, t chez Roret, libraire,

nenrietta Str., 14. i rue iSautefeuIIIe. lO'"'

chez Fbibolïndbb et Soha,

CarlHtrasse !!•

BRUXELLES,

K. HiVYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE, rue de Louvain, 108.

■îiftN

DÉCEMBRE 1885.

MÉMOIRES

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

MÉMOIRES

DE LA

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec leinere, iiec timide.

DEUXIEME SERIE. TOME XI.

DEPOTS :

LOXDKES; I PARIJ», I BBRLIlt,

chez WiLLAMS et NoRG4TE , j chez RoRKT, libraire , I chez FruEOLiNOER et Sohn,

Henrietta Str.. li. rue llautefeuille. lO'''^. Caristrasse, 11.

BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPKIMEUR DE L ACADEMIE ROYALE,

rue de 1. o u v a i n , 108. DÉCEMBRE 1885.

X

n!i'

TABLE

DES

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME X[.

{. Sur les involutions cubiques; par C. Le Paige.

2. Sur la Iransformalton des figures polaires réciproques; par

J.-S. Vanecek.

3. Sur les surfaces du troisième ordre; par M.-N. Vanecek.

4. Démonstration nouvelle du théorème de Laurent; par Mittag-

Leffler.

5. Sur une suite de moyennes; par J. Neuberg.

6. Sur la courbure des lignes décrites par les points d'un solide

invariable en mouvement; par le D' Schônflies.

7. Sur les tétraèdres de Môbius; par J. Neuberg.

8. Sur les fonctions de X„ de Legendre; par J. Deruyts.

9. Sur la courbure des trajectoires des points d'un système solide

dont le mouvement est le plus général possible ; par le

D"^ A. Schônflies. (Une page de remarques est jointe à ce

mémoire.) 10. Énuraération des Coléoptères phytophages décrits postérieurement

au catalogue de MM. Gemminger et de Harold. Hispides et

Cassidides; par C. Van den Branden. il. Contribution à l'histoire des métamorphoses des Longicornes de

la famille des Prionidœ; par Auguste Lameere.

12. Sur la surface tétraédrale-symétrique du quatrième ordre; par le

D'' Friedr. Schur.

13. Sur l'analyse combinaloire des déterminants; par J, Deruyts.

14. Liste des Sagrides, Criocérides, Clytrides, Mégalopides, Cryplo-

céphalides et Lamprosomides décrits postérieurement au cata- logue de MM. Gemminger et von Harold; par H. Donckier de Donceel.

15. Catalogue des Chrysomélides, Halticides et Galérucides décrits

postérieurement à la publication du catalogue de Munich; par Antoine Duvivier.

16. Eumolpidarum hucusque cognitarum catalogus, sectionuni con-

speclu systemalico, generum sicut et specierum nonnullarum novarum descriptionibus adjunctis; auctore Ed. Lefèvre.

17. Sur les réseaux de surfaces du second ordre; par J.-S. Vanecek.

LISTE

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 31 DÉCEMBRE 1885.

Bureau.

Président, M, Neuberg.

Vice- Président, » Catalan.

Secrétaire général , » Candèze.

Trésorier, » de Koningk.

Bibliothécaire, » Le Paige.

Membres effectifs.

1842 DE KoNiNCK, L. G., professeur émérite à l'université de Liège. Chandelon, J. t. p., professeur de chimie à l'université

de Liège. Selys Longchamps (baron E. de) , membre de l'Académie royale des sciences , des lettres et des beaux- arts de Belgique. Trasenster, L., recteur de l'universilé de Liège. 1844 Kupffersghlager, Is., professeur émérite à l'université de Liège.

( vm )

1845 Delvaux de Fenffe, Ad., ingénieur honoraire des mines,

à Liège. 1847 De Cuyper, A. C, professeur émérite à l'université de

Liège. 1833 Candèze, E., membre de l'Académie des sciences, des

lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain. PÂQUE, A., ancien professeur de mathématiques à l'athénée

de Liège.

1855 Dewalque, g., professeur de minéralogie, de géologie et

de paléontologie à l'université de Liège. Bourdon, J., docteur en sciences naturelles, à Liège.

1856 Catalan, CE., professeur d'analyse à l'université de Liège.

1860 GiLLON, A., professeur de métallurgie à l'université de

Liège.

1861 Perard, L., professeur de physique à l'université de Liège. MoRREN, Éd., professeur de botanique à l'université de

Liège. 1865 Folie, F., administrateur-inspecteur de l'université de Liège.

1868 Graindorge, L. A. J., professeur à l'université de Liège.

1869 Habets, A., professeur à l'universiié de Liège.

1870 Masius, V., professeur de pathologie et de clinique à l'uni-

versité de Liège. Vanlair, C., professeur de pathologie et de thérapeutique à l'université de Liège.

1871 Van Beneden, Éd., professeur de zoologie, de physiologie

et d'anatomie comparées à l'université de Liège.

1874 Malherbe, R., ingénieur des mines, à Liège. FiRKET, Ad., chargé de cours à l'université de Liège.

1875 Spring, W., professeur de chimie à l'université de Liège. SwAEN , A., professeur d'anatomie à l'université de Liège.

1876 DE KoNiNCK, Lucien, professeur de chimie analytique et

de docimasie à l'université de Liège.

1878 Le Paige, professeur de géométrie supérieure à l'univer-

sité de Liège.

1879 JoRissEN, docteur en sciences, à Liège.

1880 Neuberg, J., professeur à Tuniversité de Liège.

1881 FnAiPONT, J., docteur en sciences, à Liège.

1884 Deruvts, j., docleur en sciences, assistant à l'université. RoNKAR, Ém., chargé de cours à l'université. Ubaghs, p., répéiiteur à TÉcole des mines.

Membres correspondants.

1842 Van Beneden, J. P., professeur à l'université de Louvain. Laguesse, ingénieur en chef des mines, à Mons. Neuens, général d'artillerie, à Anvers. 1845 Stas, j. s., membre de l'Académie royale des sciences,

des lettres et des beaux-arts de Belgique, à

Bruxelles. Keyserling (comte A. de), membre de l'Académie des

sciences de Saint-Pétersbourg. Reichert, professeur à l'université de Berlin. Steichen, professeur à l'École militaire, à Bruxelles. SiMOiNOFF, directeur de l'Observatoire de Kasan (Russie). Cheffkine, général, aide de camp de S. M. l'Empereur de

Russie, à Saint-Pétersbourg.

1844 Lecointe, professeur de mathématiques supérieures, à

Anvers.

1 845 Maus, inspecteur général des ponts et chaussées, à Bruxelles. Navez, iieutenanl-colonel d'artillerie en retraite, à Schaer-

beek. CoQUiLHAT, général d'artillerie, à Anvers. Hagen, professeur à l'université de Cambridge (Etats-Unis). 1848 Klipstein (von), professeur à l'université de Giessen. 1852 Davidson, Th., membre de la Société royale de Londres. Ettingshausen (von), professeur de physique à l'université

de Vienne. Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,

à New-Haven (États-Unis). Ettingshausen (baron Constantin von), membre de

l'Académie des sciences de Vienne, à Gi'az.

1853 Westwood, professeur de zoologie à l'université d'Oxford

(Angleterre). Waterhouse, conservateur au Musée Britannique, à

Londres, Bède, Em., industriel, à Bruxelles.

1854 Petrina, professeur de physique, à Prague (Bohème). KÔLLiRER (von), professeur à l'université de Wurzbourg

(Bavière). DuTREUx , receveur général , à Luxembourg. Drouet, h., naturaliste, à Charleville (France). Weber, professeur de physique à l'université de Gottingue

(Prusse). Stammer , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse). Erlenmeyer, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse). Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle,

à Paris. Blanchard, E., membre de l'Institut, à Paris.

1855 Geinitz, h. B., professeur à l'Ecole polytechnique, à

Dresde. Liais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio

de Janeiro, maire de Cherbourg. TcHÉBYCHEFF, P., membre de l'Académie des sciences, à

Saint-Pétersbourg. MiCHOT (abbé), botaniste, à Mons.

1857 Jamin, J. C., membre de l'Institut, à Paris.

Wright (D' Th.), membre de la Société royale de Lon- dres, à Cheltenham (Angleterre).

1858 Caligny (marquis de), correspondant de l'Institut, à Ver-

sailles (France).

1859 Marseul (abbé de), entomologiste, à Paris. Beyrich, professeur à l'université de Berlin. Marcou, J., géologue, États-Unis.

1860 Du Bois-Reymond, professeur à l'université de Berlin. Brïicke, professeur à l'université de Vienne.

Studer, B., professeur émérite à l'université de Berne (Suisse).

( XI )

1862 Caspary, professeur de botanique à l'université de Kônigs- berg (Prusse). Wartmann, É., professeur de physique, à Genève (Suisse). 1865 GossAGE, membre de la Société chimique, à Londres.

1864 Thomson, J., membre de la Société entomologique de

France, à Paris.

Brïjner de Watteville, directeur général des télégra- phes, à Vienne.

Durieu de Maisonneuve, directeur du Jardin Botanique, à Bordeaux (France).

1865 Huguejny, professeur, à Strasbourg. Terssen, général d'artillerie, à Anvers.

De Colnet d'Huart, conseiller d'État, à Luxembourg.

Zeis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle, à Dresde.

Milne Edwards, membre de l'Institut, à Paris.

Dausse, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris.

Le Jolis, archiviste perpétuel de la Société des sciences naturelles de Cherbourg (France).

GoDWiN AusTEN, R. A. C., membre de la Société royale de Londres, Chilworth Manor, Guilford (Angle- terre).

Hamilton, membre de la Société géologique de Londres.

De Borre, a., conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Bruxelles.

1866 RoDRiGUEZ, directeur du Musée zoologique de Guatemala. Ledent, professeur au collège communal de Verviers. Desains, membre de l'Insiitut, à Paris.

1867 GossELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille

(France). Barnard, président de l'École des mines, à New- York

(États-Unis). Radoszroffski , président de la Société entomologique de

Saint-Pétersbourg. Boncompagni (prince Balthasar), à Rome.

( xn )

1868 Reisard (S. Ex. le chevalier), conseiller d'Élat, secrétaire

de la Société impériale des naturalistes de

Moscou. Clausius, K., professeur de physique à l'université de

Bonn (Prusse). Helmholtz (von), professeur de physique, à Berlin. Cailletet, pharmacien et chimiste, à Charleville (France).

1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météoiologique

de Montsonris.

1869 ScHLOMiLCH, professeur d'analyse à l'Ecole polytechnique

de Dresde. SiMOi\, E., naturaliste, à Paris. Pisco, professeur à l'Ecole industrielle de Vienne.

1870 Daguin, professeur à la faculté des sciences de Toulouse

(France). Trautsghold, professeur à l'Ecole d'agriculture à Pétrovs-

koï, près Moscou (Russie). Malaise, C, professeur à l'Institut agronomique de Gem-

bloux. Bertrand, J. L. F., membre de l'insiilul, à Paris.

1871 Van Hooren, docteur en sciences, à Tongres. Imschenetski, professeur à l'université de Karkoff (Russie). MiJLLER (baron von), botaniste du gouvernement, à Mel- bourne (Australie).

Henry, L., professeur à l'université de Louvain. Durége, professeur à l'université de Prague (Bohème). Maxwell T. M asters, membre de la Société royale, à

Londres. Thomson, James, vice-président de la Société géologique

de Glasgovi^. Capellini (conunandeur G.), professeur de géologie à

l'université de Bologne. Le Boulengé, P., colonel d'artillerie. 1872 Vallès, inspecteur honoraire des ponts et chaussées,

à Paris. Garibaldi, professeur à l'université de Gènes (Italie).

1872 Fradesso da Silveira, directeur de TObservatoire, à Lis- bonne.

Kanitz, D' Aug. , professeur à l'université de Klausen- bourg (Hongrie). 1875 Clos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Bâtes, H., membre de la Société royale de Londres.

Melsens, membre de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique.

Hermite, membre de l'Institut, à Paris.

Darboux, professeur à la Sorbonne, à Paris.

Hall, James, paléontologiste de l'Etat, à Albany (Etats- Unis).

WoRTHEN, A. H., directeur du Geological Survey de l'illi- nois (États-Unis).

Whitney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo- gical Siirvei/ de Californie (États-Unis).

Glaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux, à Kio de Janeiro.

Ladislao Netto, botaniste, directeur du Musée impérial de Rio de Janeiro.

De Carvalho (Pedro Alphonso), docteur en médecine, directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio de Janeiro.

BuRMEiSTER, H., directeur du Musée national de Buenos- Ayres.

MoRENO, F. P., paléontologiste, à Buenos- Ayres.

Arescholg, professeur adjoint à l'université de Lund (Suède). 1874 WiNKLER, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem (iNéerlande).

Hayden, géologue de l'Etat, à Washington.

Van Rysselberghe, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles.

Gegenbauer, professeur à l'université de Heidelberg.

Hackel, professeur à l'université de léna.

Waldeyer, professeur à l'université de Strasbourg.

Huxley, professeur à l'école des mines, à Londres.

1875 Mansion, professeur à runiversilé de Gand. MiCHAELis, 0., cap(ain, chief of Ordnance, à Saint-Paul,

Minn., département de Dakota (Etats-Unis). Dewalque, Fr, , professeur à l'université de Louvain. Marie, M., examinateur à l'Ecole polytechnique, à Paris. Despeyrous, membrede l'Académie des sciences (Toulouse). HoiJELj membre de l'Académie des sciences (Bordeaux). Mathieu, Em., membre de l'Académie des sciences (Nancy). Eymer, professeur à l'université de Tubingue. De la Valette Saint-George, professeur à l'université

de Bonn. Ray-Lankester , professeur à l'université de Londres. Packard, professeur à l'université de Salem (Etats-Unis). Flemming, W., professeur à l'université de Prague. Plateau, F., professeur à l'université de Gand. RÔMER, F., professeur à l'université de Breslau. Saporta (Gaston marquis de), correspondant de l'Institut

de France, à Aix (France).

1876 Balfour, J. H., professeur de botanique à l'université

d'Edimbourg. Balfour, Th. G. H., membre de la Société royale, à Londres.

1877 Mac Lachlan, Rob., membre de la Société entomologique,

à Londres. TissANDiER, Gaston, rédacfeur du journal /a iVa^wre, à Paris.

1878 Hertvvig, B., professeur à l'université de Kônigsbérg. Strasburger, professeur à l'université de léna. Bluntschli, professeur à l'université de Heidelberg. Brongniart, Charles , à Paris.

1879 Wetterby, professeur à l'université de Cincinnati. Sylvester, professeur à l'université de Baltimore. CzuBER, professeur, à Prague.

1880 Cremona, directeur de l'Ecole d'application, à Rome. Weyr, Em., professeur à l'université de Vienne (Autriche), Ibanez, général, directeur de l'Institut cartographique, à

Madrid.

( XV )

1880 Bolivar, I., professeur, à Madrid.

RiTSEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,

à Leyde. Renard, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,

à Bruxelles. Studnicka, F., professeur de mathématiques à l'université

de Prague. Genocchi, membre de l'Académie de Turin. Van der Mensbrugge, professeur à l'université de Gand. LiAGRE, général, secrétaire perpétuel de l'Académie royale

des sciences, etc., de Biuxelles. De Tilly, J., colonel, membre de l'Académie de Belgique. ViLLARCEAUX, membre de l'Institut, à Paris. Bonnet, membre de l'Institut, à Paris.

1881 Sébert, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris. Angôt, a., attaché au bureau central météorologique de

France, à Paris. Wiedemann, g., professeur à l'université de Leipzig. Planté, G., à Paris. KoHLRAUscH, directeur de l'Institut physique de Wurz-

bourg. QuiNCKE, professeur de physique, à Heidelberg. Rey Axel, professeur à l'École de médecine de Stockholm. Retzius,G., professeurà l'Ecolede médecine de Stockholm. GiORDANO, inspecteur du corps des mines, à Rome. Meneghini, professeur à l'université de Pise. GuisCARDi, professeur à l'université de Naples. Taramelli, professeur à l'université de Pavie. Laisant, député, à Paris. Beltrami , professeur à l'université de Pavie. Gestro, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle

de Gênes. Salvadori (comte Th.), professeur à l'université de Turin.

1 882 Mascart, professeur au Collège de France. BouNLAKOWSKi , membre de l'Académie des sciences, à

Saint-Pétersbourg.

( XV, )

1885 HuLL, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande. Sandberger, Fridolin, professeur à l'université de Wurz-

bourg. Breituof, N., professeui- à l'université de Louvain. Mittag-Leffler, g., professeur à l'université de Stock- holm. GoMÈs Teixeira, F., professeur à l'université de Coïmbre.

1884 BfERENS DE Haan, D., professeur à l'université de Leide. Trinchesi, professeur à l'université de Naples. Gerono, C., rédacteur des Nouvelles annales de mathéma- tiques, à Paris.

De Heen, p., correspondant de l'Académie royale de Belgique, à Louvain.

1885 ScHUR, Fréd., professeur à l'université de Leipzig. Halphen, répétiteur à l'Ecole polytechnique, à Paris. Picquet, répétiteur à l'Ecole polytechnique, à Paris.

DE LoNGCHAMPs (Gohierrc), professeur au lycée Charle-

magne, à Pari.^. Vanecek, J. s., professeur, à Jicin (Bohême).

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.,

AVEC LESQUELLES

LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE

échange ses publications.

BELGIQUE.

Bru3K.elleis. Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique.

Observatoire royal.

Société entomologique de Belgique.

Société malacologique de Belgique.

Société royale belge de géographie.

Société belge de microsco'pie.

Musée royal d'histoire naturelle. lilè^e. Société géologique.

Mous. Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut.

ALLEMAGNE.

Berlin. Kbnigliche Akademie der Wissenschaften. Deutsche Geologische Gesellschaft. Entomologischer Verein. Zeitschrift fur die gesammlen Naturwissenschaf'ten.

Bonn. Naturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande îtnd Westphalens.

( XVHI )

Breslaii. Schlesisclie Gesellschaft fur vaferldiidtsche Cullur. Colniar. Société d'hisloire naturelle. E^rlaugeu. Physikallsch-medicinische Societdl. Francfort. Senckenhergiache naturivisseiificliaftliche Gesell- schaft. Fribourg. IVaturforschende Gesellscliaft. Giesseu. Oberhessische Gesellschaft fiir Natiir- und Heilkunde.

Ci^urlitz. Naturforschende Gesellschaft.

Oberlausitzische Gesellschaft. der Wissenschaften.

Cottiugue. Kônigliche Gesellschaft der Wissenschaften und Georg-August-UniversitcU.

Halle. Naturwissenschaftlicher Verein fiir Sachsen iind Thû- ringen.

Naturforschende Gesellschaft.

Kaiserliche Leopoldinisch-Caroiinische Deutsche Akademie der Naturforscher.

Kiel. Naturwissenschaftlicher Verein.

Kouigsberg;. Kônigliche physikalisch-okonomische Gesell- schaft. Laudsliut. Botanischer Verein. Leipzig;. Naturforschende Gesellschaft. lletz. Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.

llunicli. Kôniglich Bayerische Akademie der Wissenschaften. Kônigliche Sternivarte.

Munster. Westfàlischer Provincial-Vereiii fur Wissenschaften

und Kunst. Ofrenbacb. Offenbacher Verein fur Naturkunde. iStettin. Entomologischer Verein.

Stutt|3;art. Verein fiir vaterlândische Naturkunde in Wur- temberg. fW^iesbaden. Nassauischer Verein fur Naturkunde.

li¥urzbourg;. Physikalisch-medicinische Gesellschaft inWurz-

burg. Zirickau. Verein fur Naturkunde.

( XIX )

AUTRICHE-HONGRIE.

neruianustadt. Siebenbiirgischer Verein fur NaUirwissen- schaften.

Innsprnck. Xaturwïssenschaftlich-medicinischer Verein. Prague. Kôniglich bôhmische Gesellschaft der IVissenschaften Kaiser lich-Kônigliche Sternwarte.

Vleooe. Kaiserliche Akademie der Wissenschaf'ten.

Kaiserlich-Kônigliclie zoologisch-botcmische Gesellschaft. Kaiserlich- Kônigliche geologische Reichsanstalt.

ESPAGNE.

iladrid. Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Béziersi. Société d'étude des sciences naturelles. Bordeaux.. Académie des sciences, belles-lettres et arts.

Société linnéenne.

Société des sciences physiques et naturelles. Caen. Société linnéenne de Normandie. Cherbourg. Société des sciences naturelles. Dijon. Académie des sciences.

liille. Société des sciences, de l'agriculture et des arts I^you. Académie des sciences.

Société d'agriculture.

Société linnéenne.

Montpellier. Académie des sciences et lettres. Hancy. Société des sciences {ancienne Société des sciences natu- relles de Strasbourg).

Paris. Société géologique de France. Société Philomatique. Muséum d'histoire naturelle.

(XX )

Rouen. Société des amis des sciences naturelles.

Académie des sciences.

Toulouse. Académie des sciences.

Société des sciences physiques et naturelles.

Troyes. Société académique de l'Aube.

Ageu. Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Dublin. Royal Irish Academy. Natural kistory Society.

Edimbourg. Geological Society.

liondres. Geological Society.

Linnean Society.

Royal Society. Crlasgow. Geological Society.

Natural history Society.

Philosopliical Society.

Manchester. Litterary and philosophical Society.

ITALIE.

JBolo|i;ue. Accademia délie Scienze.

Catane. Accademia gioenia di scienze naturali.

Gênes. Osservatorio délia R. Universita.

niodène. Societa dei naturulisti.

Maples. Societa Recde.

Palerme. Istituto tecnico.

Socieia di scienze naturali e economiche.

Pîse. Societa di scienze naturali.

Rome. Bulleltino di bibliografia délie scienze matematiclie, publié par le prince B. Boncompagni.

Reale Accademia dei Lincei.

Accademia ponlificia de' Nuovi Lincei.

R. Co7nitato geologico d'Ilalia.

( XXI )

LUXEMBOURG.

Luxembourg;. Institut royal grand-ducal, section des sciences naturelles et mathématiques.

NÉERLANDE.

Aausterdaïu. Koninklijke Académie van wete?ischappen. Harlem. Société hollandaise des sciences.

Musée Teyler. Rotterdam. Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke

vnjsbegeerte. Delft. École polytechnique.

PORTUGAL.

Coïmbre. Journcd des sciences malkématiques et astrono- miques, rédacteur: M. Gomès Teixeira. liisbonne. Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. Société des sciences de Finlande. lloscou. Société impériale des naturalistes. Saiut-Pétersbourg;. Académie impériale des sciences.

Société d'archéologie et de numismatique.

Société entomologique.

Société impériale de minéralogie.

SUÉDE ET NORWÈGE.

Bergen. Muséum.

Cbristiania. Kongelige Frederiks Universifet. Stockholm. Académie royale des sciences.

Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D"" Axel Key.

Entomologiska fôreningen.

Acta mathematica, rédacteur : M. Mittag-Leffler.

( XXII )

SUISSE.

Berne. Naturforschende Gesellschaft.

Société helvétique des sciences naturelles.

IVeucbâtel. Société des sciences naturelles.

Scbaflioiise. Naturforschende Gesellschaft.

AMEIllQUE. ÉTATS-UNIS.

American Association for advancement of sciences. Baltimore. American Journal of mathematics. Johns Hopkins University : Circulars.

Boston. America}/ Academy of arts and sciences.

Society of natural History. Cambridge. Muséum of comparative zoology. Columbus. Ohio State agricultural Society. Sladison. Wisconsin Academy of sciences, letlers and arts. rVe'vv-Haven. Connecticut Academy of arts and sciences. He^vport. Orléans County Society of natural sciences. I^'efv-York,. Academy of sciences. Pbiladelpbie. Academy of natural sciences.

American philosophical Society.

Wagner Free Institute of sciences. Portlaud. Natural History Society.

Salem. The A merican Naturalist.

Essex hislitute.

Peabody Academy of sciences. San-Fraucisco. Californian Academy of sciences. 'IVasbingtou. Smithsonian Institution.

GUATEMALA.

Cruatémala. Sociedad economica.

( XXIII )

MEXIQUE.

Tocubaya. Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. Universidad.

ASIE. INDES ANGLAISES.

Calcutta. Asiatic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavia. Koniîiklijke natuurkimdige vereeniging in Neder landsch Indië.

AUSTRALIE.

Hobart-ToTwu. Tasmanian Society of natural sciences. llelbourne. Observatoire. Sydney. Linnean Society.

Royal Society of New South Wales.

SUR

LES INVOLUTIONS CUBIQUES;

M. C, LE PAIGE,

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.

SUR

LES INVOLUTIONS CUBIQUES.

Nous nous sommes, à plusieurs reprises déjà, occupé des involutions cubiques; nous nous proposons de compléter aujour- d'hui les résultats que nous avons mentionnés ici même, dans nos Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre (*). Nous aurons ainsi Toccasion de faire connaître quelques propriétés intéres- santes qui nous ont été communiquées, sans démonstration, par notre savant collègue M. Zeuthen , professeur à l'Université de Copenhague.

Nous commencerons par rappeler quelques résultats analy- tiques qui nous seront utiles.

Comme nous l'avons vu, si une involution cubique est repré- sentée par l'équation

al^xb:=0, (d)

l'involution cubique conjuguée sera formée par tous les ternes communs aux deux involutions I| :

a,Oj,a, = 0, 6,6,6, = 0. (2)

11 est facile de déduire de (2), un mode de représentation analogue à (1).

En effet, nous savons que, dans chacune des involutions II, du système (2), il existe un couple neutre : ces deux couples sont représentés par

A", = {aa'faX = 0, y' = (66')'6,6; = 0. (*) Mém. de la Soc. Boy. des Sciences, t. X, 2<i^ série.

(4) Si, par suite, nous cherchons dans les deux involutions «««y»» = 0, bj)yb^ = 0, le point qui correspond aux deux couples

nous obtiendrons deux ternes de (2).

Or, il est facile de voir que ces éléments sont représentés par

{Va)X = <^. = 0; (A6)'6. = p, = 0.

L'involution conjuguée de (1) sera donc représentée par

A* . p. -H yav* u^ = 0. (3)

Cette forme permet de démontrer très simplement une pro- priété de l'involution conjuguée.

L'involution (1) ne change pas si Yvn remplace les deux

groupes

al = 0, 6^ = 0,

par deux autres groupes quelconques :

al ■+■ l^bl = 0, al -h ).ibl = 0. Alors l'équation (3) devient

A/, Pï,i, -V- ^ Ai, p;,i, = 0. (4)

La signification des symboles employés est évidente.

Il en résulte immédiatement que les éléments doubles de toutes les projectivités cycliques formés par des ternes de (1) font partie de l'involution (3),

On a, en outre, la représentation analytique du point qui complète le terne, dont deux des points sont marqués par les éléments qui viennent d'être définis.

Un groupe de trois points de (2) sera toujours représenté par

(5) ou, en développant, par

Si l'on cherche les valeurs de 1^ qui rendent le premier fac- teur carré, on trouve, en introduisant au lieu de X^ les para- mètres homogènes f/^, ^x^ :

^{j-t ■+■ 42«ifi2 -+■ 6

T-£-

5

f4f4 + ASf^^fA -4- R4 = 0, (5)

les notations sont celles de Clebsch.

C'est donc l'équation qui donne le rapport anharmonique des quatre points de ramification de l'involution (2).

Ces points sont représentés par

P/)* -+- 42/)'^ -4- 6 T - pV -f- ASpr,' H- Rt;r* == 0.

(6)

Il est, au surplus, assez facile de vérifier que le premier membre de (6) ne pourrait différer que par un facteur de

A^Vx-(©:r

Si l'on calcule l'invariant i de (a), on trouve

JUfi

Nous rappellerons encore une propriété que nous avons démontrée.

Soit V le jacobien des deux formes al, bl, et désignons par H^ le hessien de V.

Les points doubles des deux involutions cubiques conjuguées sont représentés, comme on sait, par

V = 0.

Les deux groupes de points de ramification auront alors pour équations

3Hv -4- J V = 0 )

3Hv J . V = 0. S ^^^

( 6 )

Observons encore que si, dans l'involutiôn

al -4- xbl = 0,

on cherche les valeurs de A qui correspondent aux éléments doubles, on doit écrire que le discriminant de la forme est nul.

On trouve ainsi l'équation (5).

Dans ce qui va suivre, nous désignerons toujours par df, do, d^, di, les points doubles des deux involulions conjuguées, par r^, i\i r^, r^^; r\, râ, rj, r\, les points de ramification qui leur correspondent respectivement dans ces deux involutions. Ces mêmes lettres serviront aussi à désigner les paramètres appar- tenant à ces points. Enfin, z^, z^, 25, z^ seront les paramètres des quatre groupes singuliers de (1).

Des équations (1) et (2), nous déduisons immédiatement que deux groupes quelconques de trois points, pris dans les deux involutions conjuguées, sont apolaires.

Soient a:,, oc^, x^; 1/,, ^2, î/g deux pareils groupes.

La condition sera exprimée par

( Xi - (^2 yi) {xz yz) -*- {^i y^) {x.^ y s) {x, 3/1) j -*- i^i 2/3) (^2 yd [x, yi) = 0. i

Or, considérons les deux groupes

d^d^r'^ ; d^d^Vi .

En substituant dans (8) nous trouvons :

{di d^) (rf, ^2) {r\ r^) -+- [d^ d^ (rf, r^ {r\ di) -<- {di ^2) {di d^ {r\ d^ = 0.

On en déduit

(rfi rfa) {r\ ra) _ _ ^ {di rj) (r; t/j) ou

{d,r[d^r,) = -% (9)

II en résulte immédiatement

dir'id^n/^dir'idzr^;

(7)

d^, r'i sont donc les éléments unis de deux séries projectives dont font partie les couples d^d^, r:!irz.

On voit alors, par un théorème connu, que

d/i, d^n, d^r^ sont en involution I,.

De même :

divl, diVi, diV^,

diV'i, d.j\, f/iî-j.

En conséquence, d^rl sont les éléments unis de deux séries projectives définies par les trois couples c?2^2, d^r^, d^r^^. Ce théorème est à M. Em. Weyr (*). On peut déduire de que

diù, d',fi, d^r^, di?-^

sont en involution 1,.

De même

d^n^ dii'i, " diii, d^rl sont en Ij.

Il n'est pas difficile de conclure de ces résultats que rj, rj forment un couple de l'homographie définie par d^d^, d^d,^, r^r^, et, pour une raison analogue, que r[, r'^ forment un couple de l'homographie définie par djdg, d^d^, r^r^.

On peut aisément démontrer ces diverses conséquences en considérant, sur une conique, les deux séries projectives carac- térisées par les trois couples didg, d,^di^, r^r^.

Soit P le point se coupent c/2^2? ^4^4 et Q celui se ren- contrent d.2r\, d^r2.

Alors les propriétés rappelées plus haut montrent que

d^V, dgP coupent la conique en r^, rj et que d^, (/jr, passent

par Q.

En conséquence

d^di7\r'z  d^diVirl

did^Virl 7\ dzdii\i\ . (*) Wiener Berichte, Bd. LXXIII, mai 1876.

(.8) Ceci démontre que

dids, d^di, r^Vi, rlr^

sont en involution.

En effet, désignons par ef, ej^ les éléments unis des deux homographies qui viennent d'être définies.

e, f, sont en involution avec d^di, dç^d^, et avec r,!ir\, r'^Vi.

fij, /i sont en involution avec ces mêmes couples.

Donc

Les deux homographies ayant deux couples communs et les mêmes éléments unis sont identiques.

Mais les deux égalités écrites plus haut montrent que, dans cette homographie, les éléments de deux couples sont échan- geables : donc cette H\ est une I^.

Nous voyons donc que

rfid,, rfjrfi, /V'i, rir^, r[rl, r'irl

appartiennent à une I, ; il en est de même de

f^irf^, d^di, nj\, r,ï-2, »•;?-;, rîK, didi, d^ds, r^r^, i\ri, riû, Kr^.

Tout ceci pouvait se déduire de ce que les points doubles et les deux groupes de points de ramification appartiennent à une l\ particulière, de la forme

/■ -j- xh = 0.

On sait, en effet, que cette involution se décompose, en réalité, en trois involutions quadratiques. De découlent les relations

rid^dzdi /\ dir^dzdt /^ did^r^dt /\ did^d^Vt ,

qui nous ont été communiquées par M. Zeuthen. De l'équation (5) on conclut encore que

Reportons-nous encore à l'égalité (9).

Le point se déduit, comme on voit, de d^d^r,^.

Or, les éléments d^rç^, c?^ définissent une infinité d'involutions cubiques, dont chacune a une involution conjuguée.

Celles-ci possèdent toutes les mêmes éléments d^r\, d^.

Supposons que les involutions cubiques soient marquées sur une cubique gauche Rg.

Une \\ sera caractérisée par les éléments djr^, d^Vt^,, c'est-à- dire par deux tangentes t^, t^ et deux points A^, k^-

Les plans A^ti^, A2h se coupent suivant une droite / qui a une conjuguée /'.

Les plans des faisceaux /, /' marquent sur Rg les deux involu- tions conjuguées.

Supposons que A^^t^^ -u^ reste fixe, pendant que A^ varie; alors / pivotera, dans le plan ot, autour de la trace de t^ sur ce plan.

Mais le point A;, correspondant à d^ dans l'involution con- juguée reste fixe; donc A\t\ sera un plan fixe ■uy\ dans lequel sera toujours V. Cette droite pivotera donc autour delà trace de t^ sur ot'.

Cette propriété des droites / et /' aurait pu se démontrer directement, et servir, par conséquent, à une exposition géomé- trique des théories que nous exposons.

Soient encore x^, acg, acg; y^, y^, y^; u^, %, ii^, trois ternes d'une I,.

Les relations, dues à Poncelet, donnent :

(xi y,i) {x^ y^) {Xj t/s) ^ (a^2 .Vi) jx^ ^a) {x. ^5)

{Xi Ui) [Xi 1/2) {Xi Uz) {x-î «,) (Xa Ih) {x^ Hz)

^ (^5 y^) (X5 3/2) (3C5 ^5) ^

(X5 Ui) (X3 M2) (^5 U5)

Appliquées aux trois ternes djC^jr^, fM^rg, XiOCç^x^, elles deviennent :

{dlr^d2Xl) {d^rid^x^) {diVir^X:) = I . (40)

Il est visible qu'elles donneraient aussi

{dç^ndir,) {d^r^dix^ {d<ir^riX'^ = I . (H )

On peut regarder la première de ces équations, par exemple,

(10)

comme définissant une l' qui aurait pour éléments neutres (/,r, et dont un terne serait dç^d^rçi.

On retombe ainsi sur la définition d'une I, à l'aide des ternes communs à deux I|.

Dans (10) posons

0C\ Xg ttg j iCj -- #3

On trouve

{diVidid^f {dîTir^r-^ = i , ou

{d^r^r<ir-^ = {ridid^d^f. {l 2)

On pourrait trouver un grand nombre d'autres relations entrent des rapports anharmoniques; nous signalerons encore les suivantes, dues à M. Zeuthen :

[{rtr^r^ri) {did^d-Jif]^ = A{dididzdi) {rir^nn) [{dAd^di) 1 ]^ (1 3) (djc/jrsrj {r^r^rzrl) = {didMif- (^ ^)

Cependant, pour ne pas allonger indéfiniment cette Note, nous abandonnerons ces considérations et nous nous occuperons des involutions qui coïncident avec leurs conjuguées, et que, pour cette raison, on appelle Sibi-conjuguées.

Pour qu'il en soit ainsi, il suffira évidemment que les deux groupes de points de ramification soient identiques.

Si nous nous reportons aux équations (7), nous verrons que cette condition est exprimée par

J = 0.

En conséquence, dans une involution sibi-conjuguée , deux ternes quelconques sont apolaires.

Cela résulte, d'ailleurs, de ce qui a été dit précédemment, relativement à deux involutions conjuguées.

Nous devons écrire actuellement :

Nous savons, en outre, que

6(VV')' = J'.

(H )

Donc, les quatre points doubles font un système équianhar- monique (*).

En désignant par a, a' les racines cubiques imaginaires de l'unité négative, on aura

(did^dzdi) = a. (1 5) On déduit, de ce qui précède

(ziZ^z^Zi) = {rit\r-,n). (1 6)

Si l'on se rappelle l'expression de l'invariant i de (S), on aura

[ZiZ^z^Zi) = {ro^r-j;^ == «' (**). (1 7)

La condition (17) ne suffirait pas pour démontrer que Tinvo- lution est sibi-conjuguée ; en effet, i peut être nul, sans que J le soit.

Il n'en est pas de même de la condition (16).

Des théorèmes énoncés tantôt, il résulte que

diVi, diVi, df,ï\, d^r^ sont en If ; d'où _

did^d,ir^/\rir^r4ï-

Or, par le théorème de M. Weyr

a

(did4-odi) = 7 = '^' {) ;

ce. i

donc

^d44,r,) = oc'. (18)

On démontrerait de même les égalités (did^dzdi) == (d^d^didi) = (d^d-^didi) = [d^d^diri) {ri7\iYh) = a. (1 9) Nous avons fait voir (") que, si l'on prend les quatre points r

(*) E. Weyr, Wie7ier Berichte, LXXXI, 164. (**) C. Le Paigk, Wiener Berichte, LXXXV, 847. {***) E. Weyr, loc. cit.

(") C. Le Paige, Wiener Berichte, loc. cit. Les relations (16), (17), (18), (19) ont été trouvées également par M. Zeuthen.

( 12 )

d'une involulion sibi-conjiiguée comme points doubles, on ob- tient une nouvelle ]], qui a pour points de ramification les quatre points d.

Par conséquent, de l'équation (12) on déduit :

{ridid^fh) = [diriVir^]-. On tire de :

{d^r.nnf + (f/ir.r,/-^) +1=0. (20)

e, s' désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité posi- tive, on aura :

{diTinr^) = f , (21)

On aura évidemment de même

Donc, dans une I, sibi-conjuguée, trois points de ramification déterminent une projectivité cyclique qui a pour éléments doubles le quatrième point de ramification et le point double correspondant.

L'équation (21) donne encore

[doï^r-Vi) = f

{d-J'ôr^r.) = f ; d'où

{diro\n) = {dinr-j't) = (f4»'3»'i»'2)-

Par suite d/^d^d^ forment un groupe de cette projectivité.

On peut encore dire que, dans une involution sibi-conjuguée, trois points doubles et les trois points de ramification correspon- dants caractérisent une involution cubique à deux points triples.

Si l'on emploie comme support une cubique gauche, les deux plans f/i^/gc/j, r,^i\r- et les plans osculateurs en d^, r^ appar- tiennent à un même faisceau.

On voit au surplus que ces conséquences de (21) découlent aussi de (19).

( 15)

Posons

{didir^iTz) = X. (22)

En combinant avec (2i), on trouve

e X

Or, d'après (1 9), ce rapport anharmonique est égal à a. De

£ X

on déduit

a- = I .

Au lieu de (22), nous pouvons donc écrire

{d^d,r,r,) = -i, (23)

résultat qui est encore à M. Zeuthen.

L'involution cubique sibi-conjuguée donne lieu, comme on le voit, à un grand nombre de relations curieuses; malgré son caractère particulier, elle se présente dans beaucoup de ques- tions géométriques importantes. Nous espérons revenir un jour sur ces applications.

Nous terminerons ce travail en complétant la solution que nous avons donnée, dans nos Essais de Géométrie du troisième ordre, page 77, de la détermination des points de ramification des deux involutions cubiques dont on connaît les points doubles.

Nous conserverons les notations dont nous avons fait usage à l'endroit cité, notations qui diffèrent de celles que nous venons d'employer en ce que nous avons représenté les points doubles par 3c.|, 0C2, ûCj, .T4.

Il est facile de voir que si l'on appelle V le point d'intersection des tangentes 23, ^4j les coniques passent toutes par les points 34V.

Or, considérons toutes les coniques passant par x^34V. Elles marquent sur Cg une If dont on détermine aisément les éléments caractéristiques.

( i^)

En effet, parmi les coniques du faisceau (x,34V) figurent (xi3, 4V); (x,i, oV); (a-,V, 34).

Représentons par P, Q, R, les points x^i-, x,3, a;,V ren- contrent C2; il est visible que a:,, Xg, X4 sont des éléments doubles de cette involution, auxquels correspondent les éléments de ramification P, R, Q.

Pour déterminer rj, r[, il suffira évidemment de déterminer les points qui, dans l'involution ainsi définie, correspondent à x^.

Pour cela, en se rapportant à la solution d'un autre problème (même travail, p. 71), menons QR, PR qui coupent 4V, 3V respectivement en B et A.

La droite AB rencontrera Co aux deux points cherchés ru, r\.

Nous pouvons observer que toutes les coniques du réseau (34V) marquent, sur Cg, des groupes de quatre points d'une I*.

Cette involution biquadratique possède trois couples neutres et l'on voit que les éléments de chaque couple coïncident.

Nous allons, pour arriver à quelques propriétés des couples r^, i\, lorsque x, varie, étudier l'involution I* qui vient de se présenter à nous.

Pour cela, prenons comme support une cubique plane à point double, qui est, comme on sait, du genre 0 et de la quatrième classe.

On peut donc supposer que tous les points de la courbe dépendent d'un paramètre.

Or, si nous considérons les points de contact des tangentes menées à cette courbe par tous les points du plan, nous aurons évidemment des groupes de quatre points marquant une I^. En effet, si l'on prend deux points quelconques a^, a,, sur la cubique, les tangentes f,, t^ se coupent en un point T par lequel on peut mener deux autres tangentes t^, t^, déterminant deux nouveaux points de contact a-, a^.

Les trois tangentes d'inflexion §^, (Î2, ^z marquent les couples neutres qui, ici, sont bien composés de deux points coïncidents.

On voit qu'un autre point quelconque 63» détermine une tangente t'^ qui rencontre §^, par exemple, en un point par

( 15 )

lequel on ne peut plus mener qu'une seule tangente ^5, donnant un point 63.

Les groupes 63, 63 appartiennent donc, comme cela devait être, à une Ij.

Nous pouvons maintenant faire usage d'une propriété que nous avons démontrée ailleurs (*).

Dans une cubique à point double, les rayons menés par un point A de la courbe aux points de contact des couples de tan- gentes issues de tous les autres points, formeîit une involution \\.

Observons maintenant que chaque groupe de l'Ig étant déter- miné par deux points «], «2, donne naissance à un point T. Lorsque Aj coïncide avec «2, T est sur la cubique.

En conséquence, nous pouvons énoncer celte propriété de l'\\ particulière que nous considérons :

Les couples de points qui complètent les groupes de l'involution caractérisés par deux éléments coïncidents appartiennent à une I,.

Ce théorème s'applique immédiatement à l'objet que nous avions en vue.

Si nous revenons, en effet, au problème que nous avons traité d'abord, nous voyons que (xiXiV^rl) constitue un de ces groupes spéciaux de ri| marquée par les coniques du réseau (34. V). Donc, si x^ se déplace, x^, x^, x^ restant fixes, r^r\ doivent appartenir à une I^. La droite AB passe donc par un point fixe C.

Par le point C, nous pouvons mener deux tangentes à C^. Nous obtenons ainsi deux points R^, qui sont les points doubles de l'involution (C).

Pour qu'il en soit ainsi, l'involution cubique doit être sibi- conjuguée.

Rappelons-nous maintenant l'équation (18).

On en conclut que (K^x^x-^Xi^, {^\x^x-^x,^ constituent deux systèmes équianharmoniques.

Rj, RJ sont donc les éléments doubles de l'homographie cyclique définie par x^, x-^, Xi^.

(*) Bulletin de V Académie royale de Belgique, série, t. IV, oct. 1881.

(46 )

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, du à M. Em. Weyr :

Les points de ramification de deux involutions cubiques con- juguées, correspondant à un même point double, sont conjugués harmoniques des éléments unis de la projectivité cyclique définie par les trois autres points doubles.

Nous pouvons traiter la question des I^ particulières d'une autre façon, en la rattachant à la théorie des quartiques binaires.

Soit une forme

fl* ^ ûqX^ -+■ Aaixfxi -+■ 6a^x]xl -t- Aa-^Xixl -4- a^xt.

Nous pouvons prendre comme transformée canonique de a*

l'expression